主持人：各位网友大家好，这里是中国教育在线嘉宾聊天室，今天非常荣幸邀请到了万学海文数学辅导名师朱长龙老师作客中国教育在线嘉宾聊天室，跟我们谈一谈2010年考研暑期复习的一些情况，首先欢迎朱老师的到来。朱老师您好。

朱长龙：主持人好，各位网友好。

考研数学辅导名师朱长龙老师

主持人：首先请朱老师为同学们从总体上分析一下近年来考研数学的试题特点和题目难度的大概情况？

朱长龙：通过这两年的真题分析，我们发现我们题目难度是逐年在降低的。我说这个难度主要是指试题的绝对难度，就是从知识角度来讲这个难度。为什么这么说呢？主要是近两年，从08年、09年出现了书上原定理的证明，会发现我们试题更加重视基础。这是一盲从。

另外一方面，我们的试题相对来说比较灵活，特别是高等数学部分，有一些相对来说比较新的考察方式。

从这样来看，总体难度在降低，但是我们从学生实际考出来来看并不是特别理想。去年我们分数线还是比较低的，这样的话给我们所有同学，我觉得是一个好的信号，就说我们只要在暑期或者说在今后花一定量的时间来复习数学，是一定能够考出好成绩来的。

主持人：非常感谢主老师，朱老师对于数学基础较薄弱的同学，他们在暑期这个关键时刻应该如何来复习呢？比如每天应该拿出多少时间来复习数学，然后每天做多少题目比较合适，请老师给大家一些建议。

朱长龙：可以这样说，我上面说了试题更加注重基础，对基础比较弱的同学，我觉得应该从基础训练开始，就说大量做一些基础类的题目。我觉得每天花多少时间没有一个严格的界定。我想一般的同学，如果基础比较差的话，花三个小时到三个半小时足够了。至于做题的数量我觉得也没有一个绝对的，关键看做题的质量。你做完题以后是否真的把所学的知识吸收了，会不会做同样类型的题目，这是关键的。

基本上每天做到一定的训练量的话，20—30道题左右就可以了，根据不同基础情况，在做题的时候，一部分选成是基础的题目，一部分稍微拔高一点的题目。这样的话，就有训练的效果。

同时在做题的题目类型上做一些讲究，我们考研数学题目类型是三类。一类是选择题，一类是填空题，另外一类是解答题。在我们暑期，既然是基础比较弱的同学，可以着重于我们的选择题和填空题的训练。至于解答题是在我们基础比较好之后，就是一些小的题目合成了才是我们解答题的解答，这主要是书写的训练之类的，是这样的情况。我觉得这样的话，基本上花三到三个半小时，做20—30道题左右就够了。

主持人：谢谢朱老师的建议。有同学问暑期时候复习数学应该看些什么样的书比较合适，请朱老师谈一谈？

朱长龙：我觉得看的书，现在暑期复习，这是一个很关键的时期。为什么这么说呢？我们同学，比如说在前一阶段基本上进行一些基础类的复习，大部分的同学，尤其是大三的学生课业比较重，这样的话数学以前的复习相对来说是离散时间来做，而我们暑期需要做的一点是什么呢？就是需要系统化，就是经过系统强化的阶段，是这样的过程。

在暑期要看的书，我想无论是基础好的，还是基础差的，可以以一本高质量的我们市面上都有卖的参考书为主，就是比较全面的。比如像王世安老师《考研数学标准复习全书》，还有李永乐老师的书，以及陈文灯老师的《复习指南》之类的。这时候要注意，使用对象是不一样的，要根据自己的情况选择书。比如说如果基础非常好，你可以选择一些难度高一点的，如果基础稍微差一些，选择一些台阶比较低的，比如像王世安老师的书，像李永乐老师的书。关键是要进行系统的复习，一般这样的辅导书建议大家在暑期的时候花一个半月到两个月的时间，从头到尾做完，基本上把上面的知识和习题进行训练，是很关键的，是区分于我们在前期的基础复习。基础复习的时候，基本上是什么呢？是独立的知识点的学习，而我们所看的这些辅导书更接近于我们考研的程度，是有综合性的，经过这样的训练，把我们的知识点在具体题目中它是怎么表现的，把它搞清楚，这是我们暑期的一个重点。

主持人：谢谢朱老师，暑假离考研初试还有一段时间，那这个时期在数学的复习上同学们应该注意一些什么问题呢？比如说有必要看历年的真题吗？

　朱长龙：我想看真题现在暑期不是特别必要的。因为什么呢？这里有一个问题。我们的同学，有的已经看过一遍教材了，但是知识还是非常离散，如果做真题会备受打击，这样的话，你可能就没有信心去做了。我们暑期要做的是什么呢？相当于我们做真题之前做的准备工作，把每一个科目，我们考研数学分为三科，像数一和数三就是三科，分别是高等数学和线性代数、概率论与数理统计。数二相对少一些，就是高等数学和线性代数。这样的话是三个不同的科目。我们先按照每个科目去学习，我们所谓的辅导书也是按照科目分开的，比如高等数学部分，线性代数部分，概论与数理统计部分，我们先把每一部分搞清楚，再做真题才行，否则的话我们做真题现在一套卷子都是什么呢？高等数学、线性代数、概论与数理统计是一个有机的整体，我们现在不具备这样的能力，所以说在我们暑期的时候，需要做的是像前面所说的，你需要系统做这样的事，系统把我们的辅导书从前看到后，尽量能够做到每个书上讲的知识点，每个题都要弄明白。

主持人：谢谢朱老师的讲解，下面有一些同学的提问，这里选出几个请老师位同学们解答一下，有个同学觉得线性代数有点难学，比如向量很抽象，理解不透，该怎么学？请老师谈一下？

朱长龙：我想涉及到一个相对具体的问题，我个人觉得是这样的。就说我们要学一个概念，或者学一个公式定理，有的时候我们同学往往只限制在一个很小的范围内，就是没有抓住这个学科的特点。比如说线性代数部分，同学们在学的时候就要知道，线性代数这个学科到底和高等数学、概论与数理统计相比有什么不同的特点，这个特点掌握之后，我们在学的过程就会有的放矢，知道学习的方法不同。比如线性代数，我们知道线性代数的发展，是解我们的方程组的，线性代数有一条主线，这条主线什么呢？是线性方程组，我们来看这个同学所说的向量这个概念。向量概念本身是很抽象，但是你要注意，我们是考研，说实话考研是一个应试。那我们就来看，我们向量这部分在考研试题上应该是什么样子。它通过试题的时候，我们用什么办法去处理，这是关键。我刚才说了，线性代数一条主线是什么呢？就是我们的线性方程组，那好，向量的部分可以转化成线性方程组来解决向量的问题。也就是说向量这部分主要是这样几件事，就是三个关系。

一个是一个向量和一组向量的关系，另外是一组向量之间的关系，另外一个就是两组向量之间的关系。
一个向量和一组向量之间的关系是什么呢？就是线性表示，一个向量可以用另一组向量来线性表示，这样对应我们方程组是什么呢？就是一个非齐次的线性方程组是否有解的问题。

第二个方面就说是我们一组向量之间的关系，一组向量之间的关系分成两个概念，一个线性相关，一个是线性无关。线性相关是说什么意思呢？这组向量所组成的会导出一个方程组，那这个方程组是否有非零解，如果有非零解的话，那就是什么？就是线性相关。如果是没有非零解，只有零解，那么线性无关。你看下面这部分可以转化成方程组。

在另外一个两组向量之间，就是所谓的向量间是不是等价，所谓的等价是什么意思呢？这组向量中的一个向量可以由另外一组向量来线性表示。线性表示就是一个向量和一组向量的关系。反过来，第二个向量组的向量可以由第一个向量组向量来线性表示，那好了，就是这样的关系。
所以说基本上我们在学具体内容的时候，需要抓住学科的特点，知道考研到底怎么考，我们怎么来学习，这是一个比较好的策略。

主持人：谢谢朱老师，刚才讲的非常详细。这里有位同学说感觉书看懂了，碰到题目却不会做，做题的速度也比较慢，这该怎么办？

朱长龙：我想这个书是看懂，我们要注意我们考研数学主要是题目，如果只是书看懂了，题目不会做，这是没有用的，首先要明确，题目一定要会做才行。这个题目不会做什么原因呢？我想有几点，第一个，当我们书懂的时候，只是掌握了一个知识的静态的解释，就是这个知识放在这块是什么样子，一个概念什么样就放在这，好了。而我们考研数学考的是什么呢？是这个知识动态的表现形式，什么意思呢？在一个题目中它表现为什么？我们同学需要掌握的就是我这个知识它动态表现形式应该是什么样，这是关键。要注意，一般的时候，我们的同学由于知识面的问题，或者视野的问题，他不一定完全看清楚某个知识点可以在哪些题目中以什么样动态表现出来。我觉得的在暑期的时候，就有必要听一些辅导班。虽然我是做辅导的，不是老王卖瓜自卖自夸，确实是这样的，因为有一些知识，确实像这位同学说的，就看懂了，但是不会解题。老师在讲课的过程中，或者做辅导的时候，讲的重点是什么呢？这个知识是这样的，我们来看，大家都明白了，下面马上给它变化，这是什么意思？就是它的动态形式是什么样子，有哪种变化？我们当然是想做到什么呢？就是穷尽它在考研中所能出现的所有形式，至少我们能做到一点是什么呢？它以前出过的所有变化，从而作出进一步的预测，比如说它和这个知识结合在一起，如果反过来和其他的知识点结合在一起，应该是什么样子呢？这个就是说这个知识点的动态形式。如果说动态形式都掌握了，我想无论是这个题目怎么出，你都不害怕。

这是很关键的。相当于你通过老师的帮助，告诉你这个动态形式是什么样子，但是要注意一点，数学是要通过自己的练习，仅仅是知道这个形式是什么样子，但是你不去练习不行，也就是说我们在这个过程中，不会做的同学就是练的太少，自己亲自动手做的少，有的同学可能已经听了很多辅导，我见过很多人已经听过很多辅导班了，仍然不会做题，原因是什么呢？他没有时间去消化去练，没有把老师所讲的这些东西转化过来。举一个很简单的例子，我做过实验，自己讲过一道题，过几天我出同样的知识点去做，很少人会做出来。这是什么呢？老师告诉你练习的时候，你都不去练。而我们现在在暑期的时候，这个暑期对数学来说非常重要，这几年发现一个问题，我们暑期这个数学如果说同学在这一两个月的时间，没有强化到一定的程度，没有达到一定的高度，在后期就很难再进行。因为后期的话，大量的比如说做一些套题，或者说做一些真题，如果前期的基础工作做的不好，做套题的时候备受打击，那你就没有信心再去学了，数学相对来说比较难。所以在这个暑期的时候，就像这个同学一样，你做题不会的时候，需要大量去练。一方面通过老师讲以后，模仿练习，另外你有辅导书，可以你先不看答案，先自己做题，如果做不上来的时候，想想我有什么样的思路，只不过是这个思路没有连起来，再去看答案，一看豁然开朗，原来我就差这样一个两个思路间的连接点，那我就知道，这很关键，我以前经常忽略，以后就会了。那你渐渐就会做题了。

这里做题，我想不同类型的题还不一样。比如说选择题、填空题，这个东西就有一些技巧性。比如选择题，也许我不知道正确的是什么东西，但是我可以通过排除，我可以把其他三个排除掉，你平时在做这样的题目也要积累这样的方法，我如果不会的话，我还拿到分数怎么办？比如说我们的填空题，填空题如果出现一个定积分计算，很复杂，你就想是真的想让你算这个定积分吗？也可能不是，有可能考你定积分某个特殊性质，比如说定积分的几何意义。如果你掌握了，有这样一根弦做这样的题就手到擒来了。至于解答题就是一个很重要的问题，为什么这么说呢？因为解答题所占的分数很高，是90多分，而我们同学现在确实很欠缺的就是解答题的解题步骤的完整，经常是不完整的，我阅过几年卷发现，很多同学你发现他的试卷一个汉字都没有，就连解答的“解”字都没有，全是公式。这说明你在做这样的题目的时候，你头脑中的思维全是片面的，你想我们整个一个解答题，相当是一个逻辑的结构，你把这些关键的逻辑都没有，都去掉了，就剩一些逻辑片断，这些逻辑片断表现为什么呢，就是一个小公式一个小公式放在那，这样的话我们在暑期的时候，你不会做题的同学一定注意，怎么把这个题自己感觉是完美的。什么意思呢？它的有逻辑的一个关系，第一步是什么呢？第二步是什么吗？第二步是根据第一步怎么根据的，这个根据是什么？是哪个公式？哪个定理？自己先想清楚。这样一步步有根据做下来，既使是做错了，你对一下答案，发现原来我第一步的根据错了，那我后面的根据全对，那你仍然是有收获的。但如果说就像做草稿纸一样，没有章法去做，那最后发现答案是错的。之后就想哪错了，一看不知道。这里是强调一个是书写格式，另外要留下思维的过程，把这个逻辑搞清楚，这是数学的一个特点。

主持人：有位同学担心自己的数学基础比较差，而又想考一个好的成绩，想请朱老师谈应该怎么准备？

主持人：如果是基础确实比较差，想考好成绩，我觉得是可以达到的。这样的话，只不过暑期需要花大量的时间。做好几件事，前面已经说了，一个是要把基础打牢，这很关键，因为我们考研现在考的是基础，通过适当的训练就可以了，看自己的努力。当然了，你可以有一些外力的借鉴，比如说去听辅导班。听辅导班如果你不消化，那是没有用的，这点很关键。因为我对其他的也了解一些，我觉得考研整个过程自己的努力很相当关键的，而像其他的辅导班只是一个辅助作用，一定想清楚，不是说你报了或者听了这个课，你就完全的不用学了，绝对不是这个样子，要实实在在踏踏实实把这个心沉下，能够认真去钻研，这样才可以。

主持人：朱老师，同学们最关注的大纲马上要出来了，您能否就您多年的辅导教学经验简单预测一下今年大纲的变化以及趋势呢？

朱长龙：我想大纲我总结了一下，基本上大纲隔几年会有一个大的变动，但是如果大的变动以后就不会太大。去年有一个大的变动，是数三和数四合并，这是非常大的变动，我觉得在今年大纲基本上不会有大的变化，如果是变化了，只有可能是增加某些内容，因为以前大纲在变化的时候，基本上是内容在增加，除了我们去年，去年怎么说呢，有增有减。怎么来看？由于数三数四合并了，对于原来考数三的同学，其实内容是相对来说减少了，而对原来考数四的同学，内容是增加了，而以前在大纲在变动的时候，基本上是知识点的增加，或者对知识点要求的进一步深化。我觉得今年的大纲基本上应该是按这条路来，要改变可能是增加一些内容，或者说对以前知识点的要求相对模糊的具体化，是这样的情况。

主持人：好的，非常感谢朱老师在百忙之中就手我们的采访，谢谢您。

朱长龙：好，谢谢。

主持人：好，也谢谢各位网友的关注，谢谢大家。